Математика — это интересно. В ней много любопытного, нужного и повсеместного.
Изложение построено блоками. Желательно читать все статьи в хронологическом порядке, однако названные «блоки» почти не\слабо пересекаются друг с другом.
работаем на QuickLaTeX, личная благодарность Павлу Голобородько за возможность просмотра исходного кода png рисунков
статья целиком “Hello, math” »
Целый ряд последних статей был посвящён преимущественно вычислениям, формальным правилам манипулирования с объектами линейной алгебры, ну и просто отдельным логическим следствиям принимаемых аксиом.
Помимо того, что избыток однообразного текста подобного рода банально утомляет, у читателя может сложиться «органическое неприятие» всего, что оказывается связано с такими скучными и кропотливыми выводами. Собственно, это и зачастую происходит при изучении как стандартной школьной, так и вузовской программы [непрофильных факультетов].
Ввиду этого в данной заметке мы постараемся осветить связь не особо интригующих структур с куда более впечатляющими и наглядными объектами — их геометрической интерпретацией.
статья целиком “algebra begins 18” »
Ну что же, «добьём», наконец, уже изрядно наскучившую тему векторных пространств (точнее — их детальных особенностей). Про базисы, размерности, оболочки, вроде бы уже ясно. Поинтересуемся теперь тем, какие же ещё бонусы даёт нам конечность поля, над которым задано 
, ведь они, определённо, должны быть значительно больше, чем возможность ввести пару-тройку дополнительных определений.
В самом деле, так и оказывается. Лишь бесконечные поля дают нам возможность не утруждать себя размышлениями на все вопросы типа «а сколько векторов в данном пространстве?», «а сколько у этого пространства базисов?», «а сколько насчитывается подпространств?» и отвечать всегда одинаково: бесконечно много.
статья целиком “algebra begins 17” »
Разобравшись с нюансами возможных разновидностей векторных пространств, продолжим изучение их структуры, независимой от типа полей, над которыми они бывают заданы.
Мы уже усвоили что такое размерность векторного пространства и его базис.
Ясным представляется то, что пространство является конечномерным, если количество векторов в его базисе (или, что то же самое, количество линейно независимых векторов в системе векторов 
, его порождающей) конечно и бесконечномерным в обратном случае, аналогичное верно и по отношению к счётномерности\несчётномерности.
Заметим, что наличие в любого дополнительного числа линейно зависимых векторов никак не повлияет на размер его линейной оболочки, который определяется исключительно линейно независимым базисом.
статья целиком “algebra begins 16” »
До нынешнего момента, по ходу изложения мы многократно упоминали о конечных кольцах и полях: делали всяческие оговорки, замечали, что нечто справедливо относительно конечных или бесконечных структур и прочее. Тем не менее, чем же являются эти самые конечные кольца (не говоря уже о том, каков механизм их формирования) стыдливо умалчивалось. Настало время «сорвать покровы» и посвятить эту статью крайне важной и, можно сказать, фундаментальной для последующего изложения теме — конечным разновидностям колец\полей.
статья целиком “algebra begins 15” »
Теперь, когда нам известы основные характеристики векторного пространства, самое время рассмотреть механизмы его формирования подробнее.
Для примера воспользуемся самыми простыми и немногочисленными (по количеству входящих элементов) вариантами алгебраических структур. В частности, возьмём поле, состоящее из двух элементов (исходя из определения поля видно, что один элемент будет единицей поля, а другой — его нулём) и несколько векторов (хотя, конечно, можно обойтись и одним). Такое «мини-поле» обозначим, как обычно, за 
, но ни в коем случае не будем путать его с теми полями, о которых мы говорим в других статьях. Хотя любые утверждения, высказанные относительно какой-либо структуры исходя из её корневых характеристик, верны для любой структуры такого вида, независимо от количества входящих элементов и прочего, мы твёрдо запомним, что в данном конкретном случае 
статья целиком “algebra begins 14” »