Приступая к проведению аналогий между уравнениями и прямоугольниками, мы обмолвились, что потенциал такого фокуса очень, очень большой. Если точнее, мы можем не только решить конкретное задание, но и выработать общий, универсальный метод, подходящий для всех заданий такого типа. Сказать-то сказали, но вот на деле были озабочены лишь одним, конкретным решением.

 

 

Вот это правильно замечено, за слова отвечать надо. Сказал, что общее решение будет, так давай его покажи, чтобы всё ясно, чего и откуда и берётся. Эх, сколько книжек читал, где обещали по полочкам такие темы разложить, и везде обманывали. Таких авторов не уважаю совершенно.

 

 

Для осуществления всего обещанного давайте вновь проделаем тот короткий путь, который помог нам решить предыдущее уравнение. Итак, мы, как и раньше, начинаем с общего вида квадратного уравнения:

    \[ax^2+bx+c=0\]

Вроде всё, как и было, но следует иметь в виду, что в нашем примере коэффициент a был равен единице. Эта ситуация называется «стандартный вид». Почему «стандартный»? А потому, что квадрат суммы, к примеру, раскладывается как (x+k)^2=x^2+2kx+k^2. Видите, что тут x^2 стоит без всяких лишних множителей? Если же a будет равен чему-то ещё, кроме единицы, то с таким же изяществом привести всё выражение к квадрату суммы или разности не получится.

Шаг первый

К сожалению, во многих случаях мы будем встречать выражения типа 4x^2, -5x^2 и даже, извините меня, \frac23 x^2, это если не сказать больше. В этой ситуации остаётся только одно —  решительно привести a к единице. Как этого достичь? Разумеется, просто поделить всё уравнение на a:

    \[\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0\]

Таким образом, коэффициенты a в первом элементе сократились, оставив единицу, ну а остальные просто как-то поделились.Запись стала существенно менее приятной, хорошо хоть с ноликом ничего не случилось.

Шаг второй

Пристально посмотрим на получившиеся уравнение и сравним его с квадратом суммы:

    \[\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0\]

    \[(x+k)^2=x^2+2kx+k^2\]

Отдельно стоящий x^2 мы получили, теперь идём дальше, разбираясь со вторыми членами выражений, которые должны быть равны друг другу, раз уж есть цель свернуть всё в квадратную формулу:

    \[2kx=\frac{bx}{a}\]

Отсюда достаточно просто найти сам k, следует \frac{bx}{a} разделить на 2x, как и учат нас правила решения уравнений с умножением:

    \[k=\frac{bx}{a} : 2x = \frac{bx}{2ax}= \frac{b}{2a}\]

Шаг третий

Теперь нам надо добавить квадрат второго элемента, т.е. k^2, без которого формулы квадрата суммы не будет. Предыдущий шаг мы закончили, установив, что роль k в нашем выражении играет \frac{b}{2a}, значит, именно эту дробь мы прибавим, возведя в квадрат, а потом сразу же вычтем:

    \[x^2+\frac{bx}{a}+(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}-(\frac{b}{2a})^2=0\]

От коэффициента a при x^2 мы избавились, так как \frac{a}{a} в любом случае превращается в единицу.

Шаг четвёртый

Свернём наконец-то так долго конструируемый квадрат суммы, а весь лишний хлам перекинем по другую сторону от знака равенства:

    \[(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}\]

Так уж и быть, в правой части уравнения возведём в квадрат злополучную дробь:

    \[(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a})\]

Вы всё ещё с нами? Чудно! Приведём правую часть к единому знаменателю, для этого умножим \frac{c}{a} на \frac{4a}{4a}:

    \[(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2})\]

Раз уж привели, то так и запишем, как единую дробь:

    \[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

Теперь перейдём к поиску значений самого x. Для этого извлечём корни из обеих частей, не забыв при этом, что \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}:

    \[x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Опаньки, так у нас же у двух дробей одинаковый знаменатель! Незамедлительно бросаем \frac{b}{2a} вправо, не забыв поменять знак:

    \[x=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}\]

Как дань традиции вынесем -b на место первого элемента:

    \[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Уф, это был долгий заход, в какой-то момент мы и сами подумали, что… Погодите… Что за??? Почему там стоит \pm? Это что за символ? А этим символом мы решили сэкономить себе работу, ведь как мы знаем, квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным числом. Значит, в итоге мы должны будем в одном случае значение \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} прибавлять, а в другом — вычитать.

Сам элемент \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} называется «дискриминант», именно опираясь на его вычисление в школьном курсе и решают почти все квадратные уравнения. Разумеется, про то, откуда сам дискриминант берётся и почему он является лишь частным следствием поэтапного решения, не говорится. Речь сразу заходит про очередные свойства и зависимости.

С дискриминантом оказывается связано следующее важное (без шуток) правило:

Если он больше ноля, то уравнение имеет два корня

Если он равен нулю, то уравнение имеет один корень (+0 и -0 дадут один результат)

Если он меньше нуля, то корней вообще нет (извлечение корня чётной степени из отрицательного числа невозможно)

 

 

Как и почти любое «школьное правило», указанное выше совершенно неверно. Точнее, правдивым является только первое утверждение, а два других прямо отрицают всё, на чём стоит современная алгебра. Дело в том, что… А? Что? Слишком устали? Не сейчас? Ну что вы так… Ладно, оставлю это для следующего раза.

 

 

 

Самое время поинтересоваться — а существует ли хоть одна математическая задача, которую нельзя решить при помощи квадратов и прочих прямоугольников? Увы, таких задач наберётся немало, однако можем торжественно обещать — к помощи прямоугольников мы будем прибегать при каждом возможном случае.