До сих пор примеры реальных задач, для решения которых может понадобиться математика, были если не совсем уж фантастическими, то, по крайней мере, не затрагивали тех приятных тем, от которых в нижней части живота распространяется приятная судорога. Мы, конечно, имеем в виду деньги. И не просто деньги сами по себе, а деньги всё возрастающие, увеличивающиеся, позволяющие сформировать стабильный пассивный доход и купить пожизненный абонемент в местную сеть стейк-хаусов.

Как такого дохода достичь? Если отвлечься от всяких «бинарных опционов», «уникальных рекламных предложений», «командного сетевого бизнеса без начальных вложений» и тому подобного, проверенным веками методом оказывается размещение денег в банке под определённый процент. Разве ещё не говорили о процентах? Вроде как нет… Ну ничего, сейчас исправимся.

Ранее мы подметили, что любое рациональное число со знаменателем, делящимся на 10, может быть представлено в виде десятичной дроби. Например, \frac{2}{10}=0.2, \frac{3}{100}=0.03, \frac{5}{1000}=0.005. «Процент» это просто название для одной сотой. Иначе говоря, у нас есть изначальное число, которое мы делим на 100 равных частей, каждая из которых и равна одному проценту. Записывается это как 1\%, 2\% и так далее.

Как вообще искать процент от числа? Самый простой способ это разделить на 100 и умножить на то количество процентов, которое нам нужно найти. К примеру, найдём 23\% от 251. Делим 251 на 100, получаем 2.51, которые затем умножаем на 23, имея в итоге 57.73. Неплохо, но мы были вынуждены выполнить целых два действия вместо одного. А как сделать это одним? Для начала запишем всё, что проделали: \frac{251}{100} \cdot 23. Как мы знаем, в случае умножения у нас свободный порядок операций, поэтому вполне можно написать \frac{251}{100} \cdot 23 = 251 \cdot \frac{23}{100}. Но ведь двадцать три сотых это есть 0.23=23\%, следовательно, для нахождения процента нам нужно лишь умножить их на исходное число и дело в шляпе.

А если нам нужно найти, скажем, 105\% от числа, имея в виду, что это сумма самого числа и его пятипроцентной доли? Логика ровно такая же, если один процент это 0.01, то 105\% это уже 1.05, на которые мы исходное число и умножаем. Понятно? Не совсем?

Начнём с каких-то более приземлённых ситуаций. У вас есть 10\ 000 рублей и вы мечтаете ровно о том, о чём все амбициозные предприниматели в начале карьерного пути — закупиться на полгода вперёд дошираком (стейки будут уже потом). Одна проблема — для этого вам необходимо 20\ 000 рублей. Как человек дела, вы направляете свой капитал на самые социально полезные цели — начинаете выдавать микро-кредиты под 6\% ежемесячно, при этом проценты считаются от уже полученной суммы. То есть, спустя один месяц вам должны отдать 10\ 000 \cdot 1.06=10\ 600, а по итогам следующего месяца новый процент будет исчисляться как раз от 10\ 600, а не начальных десяти тысяч. Оно и правильно, пусть банки подавятся своими жалкими 10\% в год.

Такой расклад вас устраивает, но для пущей убедительности хорошо бы иметь конкретный бизнес-план. Как никак, вам предстоит заработать целых 10\ 000 рублей! Таким образом, вам нужно узнать, когда ваша десятка себя удвоит, иначе говоря, когда начисление процентов доведёт её до 20\ 000.

Давайте думать, как это вычислить. После одного месяца, как было замечено, у вас станет 10\ 000 \cdot 1.06. Сколько будет через два месяца? А будет (10 000 \cdot 1.06) \cdot 1.06. Порядок действий при умножении не важен, поэтому мы имеем 10\ 000 \cdot 1.06^2. Таким образом, через n месяцев у вас окажется 10\ 000 \cdot 1.06^n. Приятные бухгалтерские хлопоты… Но как найти само значение n? Неужели надо заниматься скучным подбором вариантов?

Выпишем итоговое задание:

    \[10 000 \cdot 1.06^n = 20\ 000\]

Обе стороны равенства мы можем разделить на 10\ 000, получив 1.06^n=2, что и станет предметом нашего пристального внимания. Вдумайтесь — нам нужно узнать, в какую степень возвести одно число, чтобы получить другое. Необычно, согласитесь. До этого мы только вычисляли сами числа, а степени нам были даны, а тут, совершенно внезапно, от нас требуется нечто обратное.

Что поделать? Обратиться к очередному неизведанному понятию математики — логарифму. Что такое логарифм? Это… степень. Правда, не совсем в таком виде, как корни. Разъясним на примере.

 

 

Как-как? «Логарифм»? Это про деньги? Нет? А про что? Про рост денег? Про рост выражения где одна переменная связана с другой при помощи степени? Помедленнее давайте, я записываю, в таких вопросах очень внимательным надо быть, всё по папочкам раскладывать.

 

 

 

Имеется запись вида log_a x, которая читается как «логарифм x по основанию a. Означает это ту степень, в которую надо возвести a, чтобы получить x. Скажем, log_2 8 =3, log_5 25 =2 и так далее. Запись не сильно интуитивная, но можно прибегнуть к небольшой хитрости — посмотрите на то, что располагается под log, то есть на основание. Мы привыкли, что степени пишутся сверху, поэтому можно взять за привычку считать, что в степень возводится именно то, что снизу. Так вы не запутаетесь, что на что умножать и где тут вообще основание, потому что основание всегда снизу. Почти как фундамент.

Из нашего определения логарифма следует, что 2^{log_2 8}=8. Почему? Смотрите, сам логарифм даёт нам степень, в которую нужно возвести двойку, чтобы получить восьмёрку, эта степень равна тройке. Двойка в этой степени и даёт нам искомую восьмёрку. В общем виде это выглядит так:

    \[a^{log_a x}=x\]

Опять же, в указанном свойстве нет ровным счётом ничего необычного. Это даже не свойство само по себе, а просто прямое следствие из самого определения логарифма в том виде, в котором мы его записали. А вот дальше начинаются свойства, которые следует  доказать. Пожалуй, это первый раз в нашем курсе, когда мы не будем заходить издалека, показывать, как эти свойства вытекают из бытовых рассуждений. Вообще обойдёмся без предварительных ласк и, к сожалению, геометрических иллюстраций — их сделать в принципе возможно, но по своему виду они будут даже менее наделены смыслом, чем замысловатые формулы.

Только не подумайте чего дурного, все доказываемые свойства всё так же вытекают из операций со степенями, увидеть это можно всего за несколько шагов, просто это не такое тавтологическое следствие, как в случае с корнями. Подсчёт логарифма это как-никак другая, противоположная возведению в степень операция. Ну и да, доказывать мы сейчас будем только несколько основных свойств, которые имеют множество более частных следствий, но это всё будет уже в практическом приложении.

Итак, поехали. Первое свойство утверждает, что:

    \[log_a x^n=n log_a x\]

Несмотря на наши угрозы, для его доказательства почти не нужны формулы, хватит и простых слов. Итак, смотрите, log_a x это по определению степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить некоторое x. Для простоты можно назвать эту степень m, и тогда a^m=x. Однако нам нужно узнать, как возведением в степень a получить не просто x, а x^n, т.е. x, которое n раз умножили само на себя. В который раз нас выручает глубокое понимание того, как ведут себя степени при умножении. Ведь если мы договорились, что log_a x=m и, следовательно, a^m=x, то чему тогда равен x^n? Он равен (a^m)^n, так как a^m это просто ещё один способ записать этот же самый x. При возведении одной степени в другую, они перемножаются, получаем (a^m)^n=a^{mn}=x^n.

Так… и что? А то, что m это и есть значение нашего логарифма! Следите за пальцами:

    \[log_a x=m\]

    \[a^m=x\]

    \[x^n=(a^m)^n\]

    \[x^n=a^{mn}\]

Теперь пришло время для обратной замены, т.е. вместо m мы опять записываем наш логарифм:

    \[x^n=a^{n \cdot log_a x}\]

В этом равенстве во всей красе представлен ответ на наш исходный вопрос — «в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x^n? Эта самая степень указана у нас во всём гнетущем безобразии, a нужно возвести в степень n log_a x.

С практической точки зрения это может прийтись кстати, если нет желания заучивать по 10 или 15 значений степеней для самых популярных в этом контексте чисел. Допустим, как узнать log_2 8^7? Если что, 8^7 = 2097152, то есть, вы совершенно точно не хотите это считать вручную. Какое счастье, что 8=2^3! Ведь нам всего лишь следует воспользоваться доказанным свойством:

    \[log_2 8^7=7 log_2 8 =7 \cdot 3=21\]

Ясное дело, что в этом частном случае нам хватило бы и знания об умножении степеней, однако поверьте, логарифмы в течение веков использовались для дичайшего ускорения монотонных операций по умножению и делению больших чисел не просто потому, что никому не было известно про степени. Как вообще эта мешанина из букв и цифр кому-то может помочь? Для ответа на этот вопрос нам предстоит доказать ещё одно свойство:

    \[log_a xy=log_a x + log_a y\]

Представив на секунду, что мы оказались на кушетке в кабинете психоаналитика, будем проговаривать все проблемы, которые перед нами встали, да причём в самом явном виде. О тяжёлых отношениях с отцом и играх в доктора в детском садике упоминать не будем, опишем самую актуальную проблему. Итак, от нас требуется узнать, как ещё можно выразить log_a xy, то есть как узнать, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить xy, используя тот факт, что число xy само является произведением каких-то x и y.

Опять будем вводить условности. Предположим, что a^m=x и a^n=y, т.е. что log_a x=m и log_a y=n. То есть, мы знаем, как из a получить как x, так и y. Чему в таком случае равно произведение xy? Судя по всему, xy=a^m \cdot a^n=a^{m+n}. Выразим это ещё раз, но теперь вместо m и n вернём логарифмы:

    \[xy=a^{m+n}=a^{log_a x+log_a y}\]

В какую степень надо возвести a, чтобы получить число xy? Основание a нужно возвести в степень log_a x + log_a y, как и утверждается в основном свойстве.

— Братишка… Ты это, погоди… А как это считать помогает?

Помогает, поверьте, причём значительно. Видите-ли, если вы живёте в 17-м веке, то у вас, наверное, рабов, как у греков, уже нет, но свободного времени всё равно хватает. Да и не сказать, что за окном движуха круглосуточная. Как бороться с давящей скукой серых будней? Можно взять какое-то число за основание и пересчитать все значения для тысяч его степеней. На всякий случай повторим, что в 17-м веке у творческих людей представления об увлекательном досуге были весьма своеобразными.

И если вы думаете, что подсчёты состояли в вычислении 10^2, 10^3, 10^{23} и т.п., то вы сильно заблуждаетесь. Тотальному вычислению подлежали значения 10^{0.32453}, 10^{2.28594} и тому подобное. Адски трудоёмко? — Да. Кошмарно долго? — Да. Вместо этого лучше пересмотреть все сезоны Breaking Bad? — Да. Однако как только эта работа оказывается завершена, последующие арифметические операции можно выполнять с невиданной до тех пор скоростью.

Скажем, вам нужно умножить 2\ 345 на 1\ 488, а калькулятора с собой рядом нет. Кстати говоря, калькуляторов рядом не было ещё каких-то 40 лет назад, поэтому в любой уважающей себя организации можно было найти толстенные книги, в которых указаны значения великого множества логарифмов по любым основаниям (чаще всего это было 2 и 10).

Имея под рукой пару таких томиков, любое умножение на раз-два превращалось в простейшее сложение. Достаточно было найти log_{10} 2345=3.370142 и log_{10} 1488=3.172602. Далее эти значения складывались, получалось что-то вроде 3.370142 + 3.172602 =6.542744. Наконец, пару минут листания справочников, и вот находится заветное число, для которого log_{10} x =6.542744. Числом этим оказывается 3 489 346.

Зафиксируем всю цепочку действий:

    \[log_{10} x = log_{10} (2345  \cdot 1488) = log_{10} 2345 + log_{10} 1488\]

Узнаёте наше свежедоказанное свойство в боевых условиях??

Дотошный читатель сейчас наверняка скажет «секунду… это почему такое получается после умножения? мой калькулятор утверждает, что 2345 \cdot 1488 = 3 489 360, а он никогда не ошибается!».

Это будет верно. Дело в том, что логарифмы дают лишь приблизительное значение выражений, чем точнее вам нужен результат, тем больше знаков после запятой в степени логарифма будьте добры указать. Другое дело, что для практических целей вам  хватит и первых 10-15 знаков, если не меньше.

 

 

Очень смешно, когда вещи и явления превращаются в свою противоположность. Родоначальник логарифмов в их современном понимании Джон Непер писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.». Откуда ему было знать, что сегодня выражения с логарифмами будут наводить ужас на тысячи людей именно своей непонятностью и проблемами с точным подсчётом. Хорошо, что Джон до этих дней не дожил.

 

Что-то мы увлеклись сторонними рассуждениями, а у нас ведь ещё целое свойство осталось:

    \[log_a \frac{x}{y}=log_a x - log_a y\]

Посмотрим, сработает ли с ним уже взятая на вооружение логика. Итак, нам нужно найти степень, в которую мы возведём a, чтобы в итоге получить \frac{x}{y}. Дробное число тут как-то не очень к месту, поэтому давайте применим новейшее правило и представим log_a \frac{x}{y} как log_a (x \cdot y^{-1}). Тогда искомая степень найдётся по формуле log_a (x \cdot y^{-1}) = log_a x + log_a y^{-1}.

Обратим внимание, что ещё на пару абзацев выше мы доказали, что при нахождении логарифма от какого-то элемента в степени, саму степень можно вынести и представить как ещё один множитель. Но наша-то степень это -1, поэтому получается, что log_a x+log_a y^{-1}=log_a x + (-1 \cdot log_a y) = log_a x - log_a y.

Теперь можно триумфально завершить достаточно скучное сегодняшнее путешествие, расчленив ещё одну формулу, известную как «формулу замены основания»:

    \[log_a x =\frac{log_b x}{log_b a}\]

Как вы уже, наверное, догадываетесь, здесь тоже не обойтись без замен. Предположим, что log_a x=f, т.е. a^f=x. Предположили? В таком случае сосредоточьтесь, ибо сейчас мы возьмём  логарифм по основанию b и от левой, и от правой части равенства. Почему это можем сделать? Ну, если a^f и x это одно и то же, то и нахождение логарифмов от них по любому основанию должно дать одно и то же, смекаете?

    \[log_b a^f = log_b x\]

Славненько, самое время воспользоваться правилом о выносе степени, которое с первого взгляда показалось нам таким пустяковым:

    \[f log_b a=log_b x\]

Сделали? А теперь избавимся от логарифма a, поделив обе части равенства на него же:

    \[\frac{f log_b a}{log_b a}=\frac{log_b x}{log_b a}\]

    \[f=log_a x=\frac{log_b x}{log_b a} \]

Спрашивается, к чему мы пришли? К очень удобному способу переходить от одних оснований к другим — отвечаем мы. По жизни никаких ситуаций исключать нельзя, тем более живя в России. Кто знает, вдруг вам придётся «упростить выражение \log_5 256, и что вы делать будете? А-а-а, не знаете… Ну ладно, расскажем. Хотя на самом деле вы всё уже знаете.

Для начала будет полезно заметить, что 256  уж точно не может являться никакой степенью пятёрки. Значит, надо перейти к другому основанию. Как это сделать? А по нашей сладенькой формуле.

    \[log_5 256=\frac{log_2 256}{log_2 5}= \frac{8}{log_2 5}\]

Знаменатель мы не упростили, так как там наверняка что-то кошмарное должно стоять, уж лучше глаз порадуется.

Проведённое доказательство формулы для смены основания помимо своей полезности обладает ещё одним важным качеством. Это очень плохое математическое доказательство. Оно не отвечает в интуитивно понятном виде на вопрос «что происходит?», не даёт  иллюстраций и безусловно понятных схем. По мере его развития мы просто видим, что одни операции приводят к возможностям сделать какие-то другие, а уже эти, третьи, двигают нас к итоговым выводам. К превеликому сожалению, в математике хватает и таких, чисто описательных доказательств, от которых никуда не деться, сколько бы мы ни старались подобрать им внятные альтернативы. Придётся смириться и страдать. Обещаем, что в следующих статьях опять вернёмся к ярким рисункам, цветастым квадратикам и той атмосфере непринуждённости, с которой наш учебник и начинался.

Ой, кстати, а что с бизнесом? Ну, тем самым, который позволит каждый день обедать сочной яичной лапшой с улыбающейся корейской девушкой на этикетке? Бизнес идёт в гору! Мы остановились на записи 1.06^n=2, где n и было наше заветное число периодов. Теперь-то мы знаем, что n=log_{1.06}2, а таблица логарифмов (обманываем, само собой, обычный калькулятор) говорит, что в данном случае n=11.8957. Получается, всего-лишь 12 месяцев и ваша предпринимательская мечта исполнится. Что дальше? Решать только вам! Кто знает, может, пройдёт всего несколько лет и вы станете одалживать совсем другие суммы. Такие, которые позволят утолять голод исключительно тройными инфаркт-чизбургерами с шоколадным беконом. Но это будет совсем другая история…