Война клонов

В масштабной, основательной, брызжущей знаниями предыдущей статье про площади было замечено, что наше знакомство с фигурами только началось. В частности, сказали мы и про то, что одной из самой интересных фигур из всего списка является треугольник — в очередной раз скажите спасибо великим грекам и тысячам безымянных палочек, использованных для черчения на песке.

Сейчас мы остановимся на одном из самых интересных и знаменитых «треугольных» свойств , чья популярность, в отличие от сомнительного успеха иных музыкальных исполнителей, вполне оправдана, а не есть результат скоординированных усилий по PR продвижению и хитрого маркетинга звукозаписывающих лейблов. Говорить будем про теорему Пифагора (угадайте, кто её доказал?).

Как мы все помним, теоремой в математике называется какое-то доказанное утверждение. Нас как раз такое утверждение интересует, очертим его суть более конкретно. Теорема Пифагора устанавливает некоторое соответствие для прямоугольного треугольника. В отличие от остальных треугольников, стороны прямоугольного треугольника имеют специальное название. В нашем случае и называются «катетами», а зовётся «гипотенузой». Вот такая вот незатейливая терминология.

По рисунку даже невооружённым глазом можно заметить, что гипотенуза значительно больше каждого из катетов. Почему это так? А потому, что работает одно из самых наглядных свойств треугольника — против большего угла всегда лежит и большая сторона. Так как наш угол в по размеру вне всякой конкуренции, то ясно, что и сторона напротив него, т.е. гипотенуза, будет больше всех. Причина, по которой это правило работает, тоже достаточно ясна — чем сильнее разъезжаются отрезки, образующие угол, тем больший длины будет третий отрезок, их между собой соединяющий. Попробуйте медленно становиться на шпагат, каждый раз отмечая расстояние между ступнями. Если тренироваться усердно, то расстояние это будет всё больше и больше, как и угол между ногами (в идеале превратившись в развёрнутый), хотя рассмотрение треугольников самих по себе позволяет обойтись без ненужных спортивных травм.

Упомянутая теорема позволяет выразить катеты через гипотенузу и наоборот. Получается, что мы ищем некую зависимость, правило, по которому одно можно определить через другое. Не будем формулировать всю теорему сейчас, а попробуем заняться небольшим рассуждением. Что мы знаем о треугольнике, особенно прямоугольном, до сих пор? Знаем мы то, что с его помощью легко искать площади других фигур, либо деля их на несколько прямоугольных треугольников, либо достраивая сам треугольник до чего-то другого.

Между прочим, это верно не только относительно площади, но и углов. Вот подумайте — чему равна сумма всех углов треугольника? Не знаете? А зря, ведь для понимая этой загадки есть почти универсальный ключ — прямоугольный треугольник. Давайте рассмотрим это при помощи случайно взятого, заведомо не прямоугольного, хаотичного треугольника. Ну и сразу обозначим углы, чтобы далеко не ходить (да и чтобы не мучаться с греческим, используем латинский алфавит, ведь стороны нас временно не интересуют):

Можно ли что-то сказать о сумме углов сейчас? Нет, нельзя, но давайте не будем унывать. Проведём высоту, получив два прямоугольных треугольника и достроим каждый из них до прямоугольника, что уже не раз делали.

Что можно сказать о получившихся прямоугольниках, расположенных справа и слева от проведённой высоты? Ну, в них сумма углов равна , ведь . Отсюда следует, что в прямоугольных треугольниках, на которые они распадаются, сумма углов ровно в два раза меньше, то есть равна .

Давайте это запишем: . Следовательно, . Найти чему равен достаточно просто, стоит лишь обратить внимание на угол , который есть зеркальное отражение угла , то есть . Это верно и относительно пары углов и : . В общем и целом получаем . Искомый ответ беспощаден в своей однозначности: в любом треугольнике сумма углов составляет .

При этом всё такое ничего не говорит нам о соотношении сторон как таковых, если только саму площадь нельзя с чем-то сравнить. Значит, придётся строить другие фигуры. Из чего их строить? Так как у нас в наличии только сам треугольник, из него и будем мастерить. Озадачимся  экспериментом по клонированию, в рамках которого получим четыре (чтобы с запасом) совершенно одинаковых треугольника, разве что несовпадающего цвета, чтобы один от другого отличать. При этом координатная сетка нам не требуется — ведь мы ищем универсальный закон, а пытаемся посчитать отдельно взятый пример.

Имея такой богатый ассортимент строительных материалов, приступим к возведению внушительного здания. Попробуем использовать два треугольника, разместив их напротив друг друга. Кстати, вы ещё не забыли, что любую геометрическую фигуру можно не только поворачивать, но и отражать, никак не меняя её первозданного естества?

Получился некий увечный вариант прямоугольника, чью площадь найти достаточно просто, только это никак не приблизит нас к поставленной задаче. Для нашей цели нужно все катеты привязать к гипотенузе, то есть нужны фигуры, которые она (гипотенуза) самой собой образовывает. Попробуем этого добиться:

На этот раз к цели мы приблизились, но не совсем — получили ромб, площадь которого  находится (мы же это всё ещё помним?) благодаря диагоналям, но не порождается лишь одной стороной, т.е. искомой гипотенузой. А есть вообще что-то, чья площадь порождается именно одной стороной? Есть, это квадрат, ведь будучи частным видом прямоугольника, его площадь это произведение одной стороны на другую, точно такую же.

Будем располагать треугольники таким образом, чтобы получить квадрат, сочленённый исключительно из гипотенузы и её цветастых клонов:

Вот теперь дело становится значительно проще. Мы имеем квадрат, составленный исключительно из гипотенуз. Почему это квадрат, в смысле, откуда мы знаем, что все углы прямые, а стороны равны? Ответим на это поэтапно.

Во-первых, все стороны равны уже потому, что каждая сторона это наша гипотенуза, взятая раза в разном воплощении. Кстати, если равны все стороны, то равны и все углы (вспомните рассуждение относительно наибольшей стороны и наибольшего угла в треугольнике).

Во-вторых, посмотрите на углы и . Из суммы углов треугольника (мы же не просто так это доказывали) мы знаем, что , тогда угол между ними может быть равен только . Используем мы , так как это значение развёрнутого угла, т.е. для обычной прямой линии. Так как все углы равны, то данная находка распространяется на всех них автоматически.

Площадь этого квадрата находится весьма просто, это . А как это связать с катетами? Ещё проще — найти площадь большого квадрата со сторонами, образованными сочленением катетов и , она будет равна . Используя уже установленное нами правило, получаем . Чтобы получить площадь квадрата, то есть , из полученного выражения нужно вычесть площадь четырёх треугольников, которые и составляют превышение площади большого квадрата над маленьким.

Площадь одного треугольника равна , тогда площадь четырёх штук равняется . Проводим необходимое вычитание и получим удивительный в своей элегантности результат

   

Учитывая, что это есть площадь квадрата со стороной , на естественном языке теорема Пифагора звучит как «сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы».

Закончим изложение не каким-то непонятным фактом или замечанием, а обычной иллюстрацией того, что значит теорема Пифагора в самом сыром, непосредственном (и графическом) своём виде:

Согласитесь, что подобное отношение между площадями указанных квадратов достаточно неочевидно. Но тем и замечательна математика, что не просто красивым языком переформулирует тривиальности, а позволяет сделать открытия, которые чисто случайным наблюдением вывести едва ли получится. Ну и да, если вам кажется, что всё это никак не пригодится для решения бытовых задач — в будущем вы ещё не раз посмеётесь над своей наивностью.