Основное желание, которое была призвана возбудить предшествующая статья, это выход за пределы, разрушение границ, создание новых возможностей и горизонтов. Мы тут не говорим о необходимости осуществления давно назревших политических перемен в России (привет, центр «Э»!), вы ничего такого не подумайте. Ограничиваемся исключительно числами, да и не числами вообще, а конкретными и достаточно простыми числовыми множествами, из которых мы пока изучили только \mathbb N.

Множество это хорошее, в чём-то даже обаятельное, но слишком уж тесное — как мы помним, оно замкнуто лишь относительно двух из четырёх рассмотренных операций. Если вас вдруг спросят, то эти операции называются арифметическими. Всего лишь две… а ведь так хочется по жизни испытать нечто большее! К счастью, математика нам это позволяет. Она вообще позволяет дать волю любой фантазии, гарантируя при этом, что получившийся результат окажется в смысловом плане содержательным.

Первое, что мы не могли сделать, это путешествовать по числовой оси влево от ноля, т. к. никаких чисел там просто не существовало. Что же делать, давайте их создавать. Раз уж при движении вправо, вперёд, мы проходили через 1,2,3 и прочие элементы натурального ряда, то можно взять этот ряд и зеркально отразить его на новую, левую (относительно ноля) сторону оси. При этом мы не можем просто написать те же числа, но в другом направлении, иначе как мы их будем друг от друга отличать?

Решение оказывается простым: раз уж правая сторона является результатом бесконечного прибавления единиц ко всем вновь получающимся числам, то левая сторона пусть будет следствием бесконечного вычитания той самой единицы, ведь при вычитании мы в любом случае смещаемся влево. Главным отличием здесь будет значок минуса. Если, скажем, 5 это уже знакомое нам число, то -5 окажется его противоположным клоном.

Все числа, лежащие на оси справа от ноля, мы будем называть положительными, а те, которые разместились слева, отрицательными. Если видите минус перед самим числом, то можете не сомневаться, мы имеем дело с чем-то несомненно отрицательным. Этим изящным способом мы преодолели былую трудность, а именно, замкнули множество относительно операции вычитания.

Изобразим идею графически:

Rendered by QuickLaTeX.com

Не сказать, что рисунок так уж значительно отличается от тех, что мы видели ранее. Несмотря на стилистическое сходство, содержательное отличие огромно — теперь мы можем вычитать числа друг из друга сколько угодно, ничего не боясь. Скажем, нам захотелось вычесть 8 из 5: мы смещаемся на 8 пунктов влево, за 5 шагов доходим до ноля и у нас остаётся ещё 3 шага, которые мы успешно делаем, останавливаясь в точке -3. Захватывающе? От -3 мы тоже можем вычитать, так что вычтем четвёрку, отправившись дальше по отрицательному направлению, приземлимся в -7.

В общем и целом (оценили иронию?) отрицательные числа, только что нами созданные, не выделяются особой загадочностью. Пожалуй, о них стоит запомнить лишь две главные вещи. Первая это то, что сумма (или разность, ведь 5-5 или -5+5 это одно и то же) любых противоположных чисел в итоге даст ноль. Это вроде как видно, ведь сделав точное количество шагов в одну сторону, а затем столько же в другую, мы вернёмся к исходному месту.

Rendered by QuickLaTeX.com

А вот со вторым нюансом чуть посложнее, ведь для него нужно перестать считать яблоки и пироги, попытавшись воспринять числа с разными знаками как движения в разных направлениях. Если с пирогами расстаться совсем не получается, то тогда отрицательное число должно быть связано с процессом его уменьшения в результате алчного поедания.

Может показаться нелепым, но даже на этом, начальном, арифметическом уровне многие путаются. Поводом для озвученной неразберихи нередко служит умножение. В частности, как умножить отрицательное число на положительное? А как умножить два отрицательных числа друг на друга? В какую сторону мы вообще должны двигаться? Вроде же говорилось, что умножение это сокращённый вариант сложения… тогда почему я в таком смятении?

 

«Странной» невозможность быстро освоить отрицательные числа может казаться только человеку, который не знает вообще ничего о развитии математики. В европейской науке числа меньше ноля появляются лишь в 13-м веке, да и то на вспомогательных ролях. Многие великие математики считали само это понятие совершенно абсурдным, ведь «ничего меньше ноля существовать не может», а вы тут какими-то пирогами голову морочите! Даже в 19-м веке на эту тему всё ещё шли дебаты, настолько идея «негативных количеств» казалась противной человеческому разуму.

 

Проблемы начинают стремительно отступать, если, неспешно сделав глоток ароматного какао, поэтапно разобраться с происходящим. Допустим, нам необходимо умножить 2 на -3, или, что то же самое, -3 на 2. Что это означает? У нас есть изначальный блок, состоящий из двух элементов, который последовательно соединяется ещё с несколькими (в данном случае — тремя) такими же блоками. Важно понимать, что это соединение проходит в «вакууме», то есть мы не начинаем движение из точки 2, а сначала делаем операции, лишь потом обнаруживаем, где мы должны оказаться на числовой оси.

Предположим, что мы хотим начать с чего попроще, умножив 2 на -1 как это сделать? Ведь нам предстоит взять не один блок, а меньше, чем ноль блоков! Физически такое вообразить и правда не просто, поэтому все примеры из реального мира мы откидываем. Пару абзацев назад, определяя отрицательные числа, мы ничего не говорили о предметах за гранью существования, а ограничились лишь идеей направления, изменения. Следовательно, -1 как бы говорит нам «делай то, что и в случае с обычной единицей, только в другом направлении». Выходит, 2 умножить на -1 будет -2. Но тогда и 2 умножить на -3 будет -6. Можно выбрать и более трудозатратный путь, три раза умножив 2 на -1, а потом по очереди вычитать двойку, но мы разделались с этим в один заход.

maga

 

Если число отрицательное, это просто потому что мы так захотели, а не потому что вообще в мире вокруг есть что-то отрицательное. Денег в кармане отрицательное количество быть не может. Но вот я когда абонемент в зал покупаю,  у меня по итогам на карточке становится на целых полторы тысячи меньше. Получается, изменения составляют -1\ 500, именно в плане таких перемен отрицательные числа имеют реальный смысл, будь он неладен. 

 

 

Красота! А что поделать, если необходимо -2 умножить на -3? Пользоваться следует аналогичной догадкой. В случае умножения минус рядом с числом  требует от нас совершить движение по оси в противоположную сторону от той, в которую мы хотели бы двигаться. В рассмотренном примере минус сообщил нам, что нужно двигаться в обратную сторону, т. е. влево. Но теперь два минуса, так что если мы, заметив один, уже двинулись влево, то второй говорит, что нужно опять поменять направление, избрав движение вправо. Выходит, умножение -2 на -3 даст нам обычную шестёрку, совсем такую, как 2 \cdot 3. С этим ещё связана такая поговорка, что «два минуса дают плюс», которую иногда используют, рассуждая жизни — например, успокаивая толстую непривлекательную девушку-алкоголика тем, что её хотя бы никто не станет домогаться во время позднего возвращения домой.

Если вся эта муть с движениями, отношениями, направлениями и прочее не кажется совсем уж ясной, можно зайти с другого края. Представьте, что когда мы занимаемся умножением или делением, у нас есть обычные, хорошие элементы операций, а есть заражённые (то есть отрицательные). Чем они заражены выбирайте сами, нам по душе какой-то вирус в стиле зомби-апокалипсиса. Заражение имеет свои законы. Например, при контакте (т.е. при умножении или делении) обычных элементов с заражёнными результат становится заражённым:

Rendered by QuickLaTeX.com

В отличие от пессимистичного настроя большинства фильмов и комиксов подобного характера (не забудем и сюжет Last of Us), в нашей фантазии надежда всё-таки есть. Если два заражённых элемента контактируют друг с другом (т.е. умножаются или делятся), то инфекция волшебным образом отступает и результат получается самым обычным:

Rendered by QuickLaTeX.com

Полученные отрицательные числа мы вольны объединить с уже имеющимися натуральными. По итогам мы получаем совершенно новое множество целых чисел, обозначаемое буквой \mathbb Z. Почему эти числа целые вроде ясно, ведь все они порождены идеей «единого и неделимого», первичной единицы, которая, путешествуя в обе стороны числовой оси, всё остальное и создаёт. Возвращаясь к нашему холодильнику и множествам продуктов, заметим, что \mathbb Z является расширением \mathbb N, то есть натуральные числа это подмножество целых. Обозначается это, как и в случае с остальными подмножествами, записью \mathbb N \in \mathbb Z и означает, что любое натуральное число является целым, но далеко не любое целое число оказывается натуральным.

Картиночку в студию:

Rendered by QuickLaTeX.com

Наше продление числовой оси в противоположную сторону приводит и к другим последствиям. Например, обрубленный крест, который был вскользь упомянут в конце предыдущей статьи, теперь становится крестом самым настоящим, отрастившим недостающие отрезки.

Rendered by QuickLaTeX.com

Выглядит симпатичнее. Кроме того, теперь наши блоки и числа, из них получающиеся, мы можем переносить в рамках всего креста, как захочется. Это мы могли делать и раньше, но в отрицательную зону заходить не имели права ввиду её отсутствия.

Rendered by QuickLaTeX.com

glam

 

 

Кубики можно двигать и складывать, как угодно! Совсем как содержимое сумочки, когда вытряхиваешь и складываешь всё обратно. Ну, или роллы на тарелочке, если официант не очень симпатично их сгруппировал. Ну или когда порядок в шкафу наводишь… кстати, вы знаете, что всякие полотенчики, лифчики и прочее лучше складывать в ширину, а не громоздкими вертикальными стопками? В общем, надо двигать и перемещать, как хочется!

 

 

Может показаться, что все эти движения преследуют лишь эстетическую цель, но это не так. Учитывая, что при любом движении количество элементов (блоков, кубиков и всего такого) остаётся одним и тем же, от умения выгодно всё это расположить может зависеть возможность решить необычное задание, либо просто разделаться с ним побыстрее, оставив время для просмотра лучших выпусков шоу Джерри Спрингера. Желательно сильно-сильно проникнуться идеей того, что всё, что мы записываем формально, символами, может быть проиллюстрировано картинками, причём очень часто картинки оказываются намного яснее, понятнее и ближе, чем куча цифр и знаков.