Собери свой сет!

В предыдущей главе мы впервые ощутили неподдельную радость от взаимодействия со всякими объектами и операциями при помощи ранее чуждой уму формальной записи. Попробуем эту радость усилить, а также значительно уменьшить затраты внимания и времени. Хорошим примером такой экономии были индексы, позволяющие не тратиться на перечисление всех рассматриваемых объектов. Однако ничто не мешает сделать следующий шаг в этом же направлении.

А именно, мы можем вести речь не только о конкретных объектах, но о целых множествах, обладающих специфическими свойствами. Что такое множество (set) вы должны к этому возрасту понимать сами, в противном случае помочь вам с этим не получится. Нет, дело не в патологиях мышления, просто «множество» является понятием, которое в самой математике однозначно не определяется, зато активно используется и даже исследуется в рамках теории множеств (set theory).

 

Множества и элементы

В общем и целом можно заключить, что множество — это некий набор объектов, которые называются элементами множества. Что такое элемент множества? Ну, получается, что это объект, входящий во множество или, как ещё выражаются, принадлежащий ему. Важно отметить, что речь не идёт только о каких-то математических объектах, а вообще о всём, что удастся помыслить. К примеру, множество продуктов в вашем холодильнике или множество пересдач на очередной сессии. По сути единственным условием того, чтобы сделать какие-то объекты элементами множества, является требование их различимости.

 

Множество. Множеством называется любой набор отличимых друг от друга объектов (элементов множества), который можно себе вообразить.

 

То есть, нам не так чтобы следует о них много знать, достаточно, чтобы мы просто могли отличить один объект от другого. Иначе мы и не сможем их записать, ведь каждое обозначение типа имеет в виду собственный, отдельный объект. Отметим, что здесь ничего не говорится о том, что объекты сами по себе обязаны быть разными. Напротив, это могут быть точные копии, которые мы друг от друга отличаем так же, как отличают одинаковые спортивные куртки на вьетнамских вещевых рынках.

 

Множество — это когда собирают вместе любые элементы, которые надо уметь между собой отличать. Список телефонных номеров в записной книжке — множество, горстка мелочи в кармане — множество, набор приёмов для залома руки в положении лёжа — множество. Зачем вообще нужны множества? Время надо экономить, быстрее будет сказать что-то о целом множестве, чем тратить время на каждый элемент по отдельности. Я вот с ерундой возиться не привык.

 

 

Для обозначения множеств по традиции используют заглавные буквы алфавита. Ничем, кроме традиции и некоторого удобства, этот выбор не обусловлен. Поэтому если видите в учебниках всякие и даже , а рядом нет никаких геометрических рассуждений, то не пугайтесь, речь почти наверняка идёт о каком-то множестве. Букв в алфавите, кстати, мало, поэтому время от времени можно встретить и особые шрифты, вроде , что тоже означает множество, об особенностях которого мы очень скоро поговорим.

 

Как описать множество?

Для комфорта полагают, что если множество называется , то и его элементы будут обозначаться как и т.п. Впрочем, это не какое-то строгое правило.

Если мы хотим однозначно заявить о принадлежности элемента множеству, то следует писать , ну или , если элементов несколько. Странный значок работает и в обратную сторону, поэтому запись вполне корректна. Можно даже сказать и совершенно противоположное, яростно этот самый значок зачеркнув: .

Чтобы стало понятно, о каком множестве мы вообще ведём речь (если уж зашла такая тема), мы обязаны это множество так или иначе задать. Для этого в нашем распоряжении целых два метода: либо перечисление, либо выделение общего признака.

Вернёмся к холодильнику, это никогда не бывает лишним. Всё его содержимое обозначим буквой , что скажем о получившемся множестве?

Для начала можем просто перечислить его составляющие, написав . Здесь мы не только перечислили конкретные три элемента, но и поставили многоточие, намекающее, что этот список можно очевидным образом продолжить. Единственная проблема в том, что когда на парах по математике говорят про «очевидность», значит, ситуация скорее всего совершенно не очевидна. Не будет преувеличением сказать, что идеальное математическое пособие вообще не должно содержать слов вроде «очевидно», «ясно, что», «понятно», «как можно видеть» и так далее.

Несмотря на эту проблему, при небольшом количестве элементов перечисление работает вполне себе удовлетворительно. Важно только помнить, что в случае с элементами множества их надо помещать внутрь фигурных скобок , а не каких-то других. Почему фигурных? Потому что символов , как и букв, реально мало, а уметь сказать всякого хочется побольше, вот и приходится идти на выдумки.

Другим методом, куда более изящным, является описание. На модном математическом языке это называется «указание характеристического предиката (признака)». Звучит величественно, но на практике выглядит вполне дружелюбно.

Записывается следующим образом, , или вертикальная черта меняется на двоеточие . Если вам резко захотелось закрыть страницу сайта и больше никогда не возвращаться к подобной теме, то потерпите немного, всё будет не так сложно, обещаем. В указанной записи мы всего лишь говорим, что у нас есть множество , которое состоит из элементов , для которых верно какое-то утверждение. Если вы являетесь мизогином, сторонником патриархата и шовинистической свиньёй, то можете отсортировать всех знакомых вам девушек, создав множество , в котором будут исключительно те знакомые, чей размер груди больше второго.

Разумеется, само утверждение об элементах может быть каким угодно, допустим, . Данная фраза означает, что множество состоит из всех элементов , которые меньше, чем . При этом сами это для нас уже не продукты (давайте всё-таки строить изложение на примере продуктов, а не размеров груди?), а дни, оставшиеся до истечения их сроков годности. Получается, что меняя показатель , мы получаем список всего того, что лучше либо съесть как можно скорее, либо отправить в мусорное ведро.

Отношения элементов (в хорошем смысле)

Минуточку… а что такое , да и само по себе? Почему мы употребили этот странный знак, ничего о нём не сказав? Может, мы что-то замышляем?

Замышляем, и ещё как. В нашем изначальном примере, когда множество составляли лишь сами продукты, мы совершенно ничего не могли про них сказать. Точнее, можно было заметить, что нам по вкусу мясные тефтели, но это не являлось бы собственно математическим утверждением (если только мы не присвоим каждому продукту персональную оценку, которые и будем сравнивать).

Дело в том, что элементы множества могут находиться в разных отношениях. К примеру, запись говорит именно о таковых. Соответственно, утверждается, что меньше , что больше , что меньше или равно , что больше или равно , ну и что оба элемента равны.

 

Само понятие «отношения» не является строго математическим. Конечно, математики могут витиевато формализовать отношение как некое , да ещё сказать, что , только разве это сообщает нам что-то по существу? Единственный способ, как можно понятно определить «отношение», это используя всякие синонимы типа «взаимосвязи», «зависимости» и тому подобное. А что, вам в школе говорили, что в математике можно всё исчерпывающим образом описать? Знайте — вас грязно обманывали!

 

 

Если элементы нашего множества могут быть сравнимы таким образом, то речь идёт о том, что множество упорядочено (на нём введено отношение порядка). Порядок этот, впрочем, может быть и частичным, если такие сравнения мы в состоянии сделать не для всех элементов, а лишь для некоторых. Имеется в виду, что сроки годности мы объективно сравнить между собой можем (т.к. это числа), а кусок сыра и ветчину — нет, да и само выражение «сыр больше ветчины» звучит странновато.

Подождите, неужели мы опять тихой сапой протащили в текст какую-то бессмыслицу? Что ещё за «меньше или равно», мы же говорили только про «меньше» и «больше»? Действительно, и даже это совершенно отдельные знаки, обозначающие (каждый знак что-то обозначает, важно это помнить) совершенно отдельные отношения. В частности, утверждает, что верно одно из двух: либо , либо же . Почему бы не написать всё это по отдельности? Можно и по отдельности, только данное отношение так часто используется, что куда проще его обозначать одним символом. У вас уже успело закрепиться, что подавляющее число особенностей математической записи проистекает из банальной лени и желания сократить себе работу?

Отношения множеств

Сократить её пора и нам — давайте уже завязывать со всеми этими множествами и отношениями, про них на экзамене всё равно вряд ли спросят. Для завершения изложения нам следует уяснить одну полезную деталь — множества, как и их элементы, могут вступать друг с другом в самые разные отношения. Например, они могут пересекаться, дополнять друг друга, объединяться и тому подобное. Но прежде всего, у каждого конечного (про бесконечные вы можете узнать в задротском дополнении) множества есть мощность. Мощность множества — это просто количество элементов, которое в нём содержится, к примеру, в случае множества , если мы запишем или , то речь будет идти именно о количестве элементов. Откуда взялось обозначение ? Ну, мощность множества также называется кардинальным числом множества, оттуда и название.

 

Мощность множества. Мощностью множества , обозначаемой как называется число элементов, содержащихся в данном множестве .

 

Со всеми предварительными замечаниями вроде разделались, переходим к картиночкам! Видите эти очаровательные кружочки внизу? Посмотрите на них хорошенько, с ними сталкиваться придётся ещё не раз.

Это не просто декорация, каждый из этих кружков символизирует собой отдельное множество, а вообще эти художества называются «кругами Эйлера». Согласитесь, куда приятнее заниматься всяким с яркими фигурами, чем с невероятно нудной формальной записью. Имея в своём распоряжении три исходных множества, , и , давайте усвоим, для каких операций их можно использовать.

 

Множества можно изображать цветными кружочками и даже шариками! Они могут быть разного цвета, размера и местоположения. Обычно чем больше кружочек, тем больше элементов вбирает в себя множество, хотя это вовсе и не обязательно. Вместо того, чтобы думать, что там эти множества делают, лучше их просто нарисовать, всё сразу станет понятно.

 

 

 

 

Начнём с пересечения, просто потому, что нам так больше хочется.

Как можно видеть, в этом примере множества слегка наезжают друг на друга, а вся область, которая для них оказывается общей, обозначается как , всё это читается как «пересечение множества и множества «. Само пересечение (на минуточку, пересечение это есть операция) множеств тоже является множеством. Из каких элементов оно состоит? Из всех тех, которые одновременно принадлежат как множеству , так и множеству . И не важно, что это пересечение выглядит, как мяч для регби — множества можно изображать любыми мыслимыми (даже неприличными) замкнутыми фигурами.

Подпустим немного формализма: . Короче говоря, пересечение множеств показывает, что у них есть общего. Можно предвидеть возражения любителей нуара и мрачных драм: а что делать тем, у кого друг с другом нет ничего общего? В нашем первом рисунке каждое множество стояло совершенно отдельно, разве не так? Конечно, всё так, а критики получают приз за наблюдательность.

 

Пересечение множеств. Пересечением множеств и называется множество (где — знак операции пересечения), состоящее из элементов, одновременно принадлежащих и множеству , и множеству .

 

Пересечение множеств вовсе не обязано содержать какие-то элементы, у множеств вполне может и не быть общих элементов, в таком случае их пересечение всё ещё является множеством, но множеством пустым. Выражение как раз и означает, что всё множество общих элементов пустое, т.е. не содержит ни одного элемента.  Вероятно, слегка странным кажется существование пустых множеств, в которых совсем-совсем ничего нет. На этот случай задумайтесь о том, что ваш кошелёк тоже является некоторым множеством, однако наличного содержания в нём может и не быть.

Путешествие продолжается.

На этот раз мы имеем дело с объединением множеств. Элементы объединения нескольких множеств принадлежат хотя бы какому-нибудь из этих множеств. В нашем случае означает, что мы берём всё содержимое и прибавляем к нему всё содержимое . На этот раз обойдёмся без точной формальной записи, т. к. для неё потребуется ввести ещё больше символов, а нам важно удержать в памяти то, что такими трудами удалось туда поместить.

 

Объединение множеств. Объединением множеств и называется множество (где это знак операции объединения), состоящее из всех элементов множества и всех элементов множества .

 

Ну и да, заботясь о памяти, будем заканчивать и без того затянувшееся изложение. Подытожим мы его разностью множеств.

Как видно, для наглядности мы бесцеременно наложили множество сверху на с той целью, чтобы оно полностью перекрывало собой часть территории последнего. Теперь можно увидеть глазами, что такое разность множеств — это такое множество, которое содержит все элементы, принадлежащие исключительно первому множеству, но никак не второму. Говоря языком поэтическим, это то, в чём состоит уникальность первого множества, его отличие от остальных.

 

Разность множеств. Разностью множеств и называется множество (где это знак операции вычитания), состоящее из всех элементов, принадлежащих только множеству и одновременно не принадлежащих множеству .

 

Ну всё, закругляемся… Хотя, кем бы мы были, если бы не успели ввернуть под конец последнее замечание? Из наших розовеньких уточнений вы должны были видеть, что множества могут быть разных цветов, размеров, да и вообще вести себя как обычные кружочки для рисования. Следовательно, они могут располагаться не только рядом, но и внутри друг друга! Мы же ведь нарисовать один кружок внутри другого можем, да? Вот типичный пример такого расположения:

Множества и располагаются внутри множества , иначе говоря, являются его подмножествами (subset). Записывается это весьма просто, . Ну а уж насчёт смысла этой записи не следует и гадать — тут просто-напросто утверждается, что все элементы множества принадлежат множеству , содержатся в нём, как в чём-то большем.

 

Подмножество. Подмножеством множества называется множество, состоящее из какого-то числа элементов, входящих в множество .

 

Согласитесь, это был интенсивный забег. Зато теперь вы знаете почти всё, что понадобится при дальнейшем освоении математических хитростей. И поверьте, несмотря на невероятную нудность изучения всех таких соотношений, в практическом итоге это многократно окупится. А если не окупится, то вы всё равно сможете шагать по улице, гордо расправив плечи — ведь теперь «множество» для вас это не чуждое слово, а что-то близкое и почти родное.