Тот неловкий момент, когда призываешь подучить математику и не знаешь, с чего начать. Да и начинать надо максимально демократично, т.е. предполагая, что читатель ничего из этого не слышал, а если случайно и услышал, то старался поскорее забыть. Но и заново складывать палочки это затея не из лучших. В конце концов, именно складывание палочек во многом и привело к нынешней печальной ситуации. Мы же собираемся не навык нарабатывать, а расширять сознание.

Пересчёт палочек, кстати, плох именно этим. Человек слишком привыкает думать о тех же числах как о палочках, в результате чего более изящные действия, нежели конкретные арифметические, как и непривычные понятия, вызывают  неподдельный испуг, потливость ладоней и учащённое сердцебиение. В общем, палочки это плохо, понятненько?

Чем тогда займёмся? Небольшим обобщением. Перед нами стоит задача изучения математики, а значит, сами объекты изучения есть объекты математические. Что такое математический объект? Никто не знает. В смысле, вы нигде не найдёте описания более подробного, чем то, что это «объект, изучаемый в математике». Положение дел во многом напоминает ситуацию, описанную в известном анекдоте: человек приходит вечером домой и обнаруживает, что его сосед по квартире разрубил на доски шкаф и жарит на нём мясо, а на вопрос «что это всё такое?» отвечает «это шашлык».

На деле оказывается, что математический объект — это любой объект с формализованными свойствами, которые при этом не противоречат друг другу. При желании вы можете самостоятельно придумать множество таких объектов, а потом приняться их изучать. Благодаря тому, что свойства одних объектов кучей образов пересекаются со свойствами других, возникают различные структуры, отношения, зависимости. Тут начинается извечное соревнование между чисто описательным подходом и интуитивным, при этом мы будем стараться делать выбор в пользу второго.

Скажем, объяснить, что такое сэндвич, можно разными способами. Чисто формально правильным будет сказать, что это кусок серого хлеба, лист салата, кусочки огурчика и нарезанная копчёная грудинка. Кто же от такого сэндвича откажется? Но что случится, если вам встретится комбинация из чёрного хлеба, помидоров и бекона, распознаете ли вы это всё как сэндвич или нет? Скорее всего нет, если у вас отсутствует интуитивное, общее понимание сэндвича как сочетания какой-то углеводной хлебной базы с относительно питательной начинкой (про омерзительное порождение больного  разума вроде «вегетарианского сэндвича» говорить не будем).

В отличие от реальных и остро стоящих перед нами кулинарных вопросов, с точки зрения математики совершенно безразлично, является ли отдельно взятый описываемый объект моделью чего-то «реально существующего» или нет. Даже в тех областях математики, чьи достижения едва ли можно будет когда-то применить практически, кипят споры и делаются настоящие открытия. Да и сами объекты, берущие за образец «реально существующее», всё же слишком условны. Например, квадратный кусок булки для бургера в строгом смысле квадратным не является.

Помимо многократно упомянутых объектов как таковых, нас также интересуют операции, которые с ними можно осуществлять. Операции — это такие действия, которые принимают математические объекты в качестве входящих данных и что-то с ними делают по описанным правилам, возвращая результат.

Хочется верить, что вы успели заметить непозволительное количество мутных, неясных словечек, с трудом представляемых на языке формул и цифр. Увы, это всё издержки естественного языка и человеческого мышления в принципе. Теории, где у всех элементов есть однозначные определения, просто-напросто невозможны (об этом мы ещё поговорим), и это с 1930-х выступает причиной немалой грусти огромной армии ортодоксальных формалистов.

nerd

 

Несмотря на всю любовь к точности, «точная наука математика» не является абсолютно точной и последовательной. Все надежды на то, что она такой станет, в 20-м веке подошли к концу. Поэтому как бы рьяно кто-то из знакомых технарей вам ни рассказывал, что он не гуманитарий какой-то, в своих размышлениях никаких допущений не делает, всё у него по полочкам, знайте, что он не договаривает. По возможности, конечно, используйте эти наблюдения чтобы максимально пристыдить и унизить окружающих!

 

 

Концептуально математическая операция ничем не отличается от любой из своих коллег в реальном мире. К примеру, можно рассмотреть операцию на типичной вечеринке: вы хотите успеть домой, но не хотите платить за такси, предпочитая метро. Очевидным решением будет подойти к кому-то из местных и спросить, во сколько нужно выйти, чтобы не опоздать. Следопыты наверняка обратят внимание на текущее время и степень вашего опьянения, после чего назовут примерный интервал. Иными словами, они возьмут несколько не подлинно математических объектов, проведут нам ними операцию и получат третий, не имевшийся до этого, который и станет их итоговым вердиктом.

Ко всему этому математика добавляет лишь требование формальной записи происходящего, а в остальном стесняет вас даже меньше, чем правила общественного приличия на подобных мероприятиях.

То есть, мы должны говорить о чём-то конкретном, например, о неких a и b, или же X и Z, если хочется экзотики.

Сами буквы, которыми обозначаются объекты, не играют никакой роли (если об этом не было заявлено изначально) и представляют собой дань исторически сложившимся традициям, именно поэтому с ними иногда столько проблем.

Опять же, на практике следующие рядом буквы алфавита a, b, c, d и т.п. могут использоваться, когда объектов не так много и их важно друг от друга отличать. Одни и те же буквы, но с разными индексами, полезнее, когда мы ведём речь о значительных количествах. В таком случае появляются a_1, a_2, a_3 и многие другие. В зависимости от буквы, объекты могут различаться по своей природе, если все a это номера в вашей записной книжке, то b это уже количество людей во френд-листе.

При перечислении a мы прибегли к трюку — в обозначение каждого нового объекта подставили цифру, позволяющую отличить его от другого. Мы использовали нижний индекс, но можно писать и в верхнем, например, a^2, a^3, a^4 и так далее. Такая запись возможна, но означает не порядок элементов, а слегка другую операцию, про которую вам пока знать не положено, даже не спрашивайте. Почему цифра снизу это личный номер, а сверху — показатель степени? А просто потому, что так сложилось, и все этим пользуются.

Нередко мы будем использовать и запись вида a_i. Можно предположить, что имеется в виду некий элемент a под «номером» i, т.е., что есть всякие a_b, a_c, a_z и прочие. Здесь привычка опять играет непристойные игры с нашим рассудком. Под a_i следует понимать любой случайный элемент из всех a, которые мы перечислили. Допустим, у нас есть всего 10 элементов a, от a_1 до a_{10}. В силу природной лени мы хотим сделать утверждение о всех них сразу, а не по отдельности. Пусть каждый a будет представлять возраст одной из ваших близких подруг, и вы хотите заявить, что на момент общения с вами каждой из них (а значит, вообще всем) было больше шестнадцати. На формальном языке это будет выглядеть как a_i>16. Вот видите, вы не только избавили себя от необходимости механического перечисления, но и вооружились впечатляющим аргументом для судебного разбирательства!

maga

 

 

Если видишь, что буквы пошли, всякие там a, b, c и подобное, значит, разговор на общие темы сейчас. Сам подумай, я тебе могу на примерах говорить, что и как по жизни работает, а могу типа глобально сказать, если ты паренёк смышлёный и голова как надо работает. С нормальными людьми я так и говорю, «работу делай по совести», а не про каждое задание объясняю. Занятой я, некогда одно и то же растолковывать.

 

 

С записью операций дела обстоят не сильно сложнее. Чуть выше мы уже говорили об операции по оценке времени выхода из помещения. Всё это можно записать как time \# sobriety \rightarrow leave. Имена time и sobriety вводным данным  присвоили для собственного удобства, их вполне можно заменить на t и s соответственно. Значок решётки \# в нашем случае это сама операция по оценке, а стрелочка \rightarrow призвана обратить наше внимание на то, что из этих данных получается некий результат leave, который мы также можем называть l.

Что мы можем сказать про нашу операцию? Если люди, к которым мы обращаемся за данной консультацией, не страдают отклонениями мышления, то они должны давать нам ответы независимо от порядка предоставления данных. Иными словами, фраза «я слегка накурен, сейчас половина одиннадцатого» должна приводить ровно к такому же результату, как и «сейчас половина одиннадцатого, я слегка накурен». Говоря формально, t\#s = s\#t. Значок = говорит о том, что объекты по обе стороны от него идентичны (речь идёт об одном и том же объекте, записанном разными способами). Небольшой житейский совет — если вы накурены, то закладывайте на любое путешествие время в полтора раза больше привычного.

Если наше предположение верно, то как мы ни спрашивай, всегда ответ будет одинаковым. В этом случае говорят, что мы имеем дело с коммутативной операцией. В самом слове «коммутативной» нет ничего ласкающего слух, это обычный термин, который используется, чтобы не тратить много времени на формулировки. Согласитесь, сказать «операция коммутативна» намного проще, чем «операция возвращает одно и то же значение независимо от порядка операндов». «Операнд», если что, это математический объект, который берётся для операции. В нашем случае t\#s \rightarrow l получается, что t и s это операнды (или, как ещё говорят, аргументы), \# это операция (или знак операции), ну а l это результат операции (или значение).

Дадим волю внутреннему бунтарю и спросим, с какой стати мы вообще пишем t \# s, почему, к примеру, не \# t s, иначе говоря, почему знак операции размещается между объектами, а не, допустим, слева от них? Никакого чёткого ответа не получим и здесь. Ничего не мешает нам писать знак операции с какой-то отдельной стороны, например, сумму элементов (о которой вы также пока ничего не знаете) a,b,c,d вполне можно записать как a+b+c+d, а можно и как + (a \ b \ c  \ d). Последний метод известен как польская запись (польская нотация) и в математике используется редко, зато крайне популярен у [бородатых] программистов. Очевидно, в случае с большим количеством аргументов он предпочтительнее. Но дело не в польской или какой ещё записи, ведь нужно всегда задаваться вопросом, что откуда взялось и почему так работает.

Звучит пока просто, но так ли это легко на самом деле? Да, это и в самом деле не требует гениальности. Все эти выражения не несут никакого скрытого смысла, это просто термины, которые не ясны окружающим ровно в той же степени, в которой шизофазическим бредом выглядит речь любителей Dota 2 или Pokemon Go.

Чтобы окончательно победить страх над непонятыми выражениями, закончим разбором одного из них.

При рассмотрении всё тех же операций упоминают о некой арности. Что такое арность операции? Это всего-навсего количество операндов/аргументов, которое эта операция принимает. Если операнд может быть только один, то операция унарная. Если два, то бинарная. Если три — дело совершенно точно идёт о триарной операции. А если их может быть сколько угодно, то перед нами операция мультиарная.

К примеру, наша операция \# оказалась бинарной, как и знакомое почти каждому человеку обычное сложение. В дальнейшем почти все (или вообще все) операции, которые мы будем изучать, будут бинарными, но за нашим уютным болотом всегда бурлит бездонный океан.

Зачем нам вообще было это знать? Теперь мы можем заявить окружающим, что потратили вечер на создание коммутативной бинарной операции. Просто произнесите это, «коммутативная бинарная операция». Чувствуете, что уже начинаете ощущать принадлежность какому-то высшему сословию?